Нужно ли вносить запись о приостановке действия договора в трудовую книжку мобилизованного работника

Нет, запись о приостановке действия трудового договора в трудовую книжку мобилизованного работника вносить не нужно. В сведения о работе трудовой книжки вносят только записи о работе, постоянных переводах и увольнении сотрудника (ч. 4 ст. 66 ТК РФ). Не позволяет вносить запись о том, что приостановили действие трудового договора, и Порядок ведения и хранения трудовых книжек (Приказ Минтруда России от 19.05.2021 N 320н «Об утверждении формы, порядка ведения и хранения трудовых книжек» {КонсультантПлюс}). Если работник запросит у вас подтверждение того, что договор с ним приостановили, можете выдать ему об этом справку.